Frage:
Wie wird die Masse der Erde bestimmt?
Kenshin
2014-04-16 10:12:33 UTC
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Nach Lehrbuchwissen beträgt die Masse der Erde etwa $ 6 × 10 ^ {24} \, \ mathrm {kg} $. Wie wird diese Zahl bestimmt, wenn man die Erde nicht einfach mit normalen Skalen beschweren kann?

Fünf antworten:
#1
+37
Mr_Green
2014-04-16 10:36:45 UTC
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Nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz basierend auf der Anziehungskraft (Gravitationskraft), die zwei Massen aufeinander ausüben:

$ $ F = \ frac {GmM} {r ^ 2} $$ span>

Wobei:

  • $ F. $ span> ist die Gravitationskraft
  • $ G = 6,67 \ mal 10 ^ {- 11} \ \ mathrm {m} ^ 3 \ \ mathrm { kg} ^ {- 1} \ \ mathrm {s} ^ {- 2} $ span> ist eine Proportionalitätskonstante
  • $ M $ span> und $ m $ span> sind die beiden Massen, die die Kräfte ausüben
  • $ r $ span > ist der Abstand zwischen den beiden Massenschwerpunkten.

Aus Newtons zweitem Bewegungsgesetz :

$$ F = ma $$ span>

Wobei:

  • $ F $ span> ist die Kraft, die auf ein Objekt ausgeübt wird.
  • $ m $ span> ist die Masse des Objekts
  • $ a $ span> ist seine Beschleunigung aufgrund der Kraft.

Gleichsetzen beider Gleichungen :

$$ F = \ frac {GmM} {r ^ 2} = ma $$ span>

$$ \ frac {GM} {r ^ 2} = a $$ span> (Der $ m $ span> wurde abgebrochen.)

Jetzt Löse nach $ M $ span>, der Masse der Erde.

$$ M = \ frac { ar ^ 2} {G} $$ span>

Wobei $ a = 9,8 \ \ mathrm {m} \ \ mathrm {s} ^ {- 2} $ span>, $ r = 6,4 \ times 10 ^ 6 \ \ mathrm {m} $ span> und $ G = 6,67 \ mal 10 ^ {- 11} \ \ mathrm {m} ^ 3 \ \ mathrm {kg} ^ {- 1} \ \ mathrm {s} ^ {- 2} $ span>.

$$ M = 9,8 \ mal (6,4 \ mal 10 ^ 6) ^ 2 / (6,67 \ mal 10 ^ {- 11}) \ \ mathrm {kg} $$ span>


Daher

$ M = 6,0 \ mal 10 ^ {24} \ \ mathrm {kg} $ span>

Mew, es gibt einen der besten Texte in der Wissenschaftsgeschichte mit dem Titel Mathematische Prinzipien der Naturphilosophie, in dem das Gravitationsgesetz aus F = MA entwickelt wurde.
Sie sollten klarstellen, dass r in der allgemeinen Gleichung der Abstand zwischen den Schwerpunkten der Objekte ist (eine Gravitationskraft wirkt auch auf ein Objekt auf der Erdoberfläche, obwohl der Abstand zwischen dem Objekt und der Erde 0 beträgt). Meiner Meinung nach ist es auch klarer, die quadratischen Exponenten wie zum Beispiel "r ^ 2" anstelle von "r2" auszudrücken, da dadurch Mehrdeutigkeiten vermieden werden (meinen Sie "r * r" oder "r * 2"?). Ansonsten ist es eine gute Antwort :-)
Ich denke, diese Antwort muss zumindest anerkennen, wie wir a und G bestimmen können
#2
+34
David Hammen
2014-04-24 17:40:45 UTC
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Hinweis: Ich habe diese Antwort aktualisiert, um eine Beschreibung der historischen Techniken aufzunehmen.

Historische Techniken

Newton wurde entwickelt Seine Gravitationstheorie dient in erster Linie dazu, die Bewegungen der Körper zu erklären, die das Sonnensystem bilden. Er erkannte auch, dass die Erde durch die Schwerkraft zwar die Sonne und der Mond die Erde umkreist, aber auch für Äpfel verantwortlich ist, die von Bäumen fallen. Alles zieht alles andere an, gravitativ. Dies deutete darauf hin, dass man theoretisch die Anziehungskraft zwischen zwei kleinen Kugeln messen könnte. Newton selbst erkannte dies, aber er hielt es nicht für sehr praktisch. Mit Sicherheit nicht zwei kleine Kugeln (Newton 1846):

Woher würde eine Kugel mit einem Durchmesser von einem Fuß und einer ähnlichen Natur wie die Erde einen kleinen Körper anziehen, der mit einer Kraft in der Nähe seiner Oberfläche platziert wird 20000000 mal weniger als die Erde, wenn sie in der Nähe ihrer Oberfläche platziert würde; aber eine so kleine Kraft konnte keine vernünftige Wirkung erzeugen. Wenn zwei solcher Sphären nur einen Zentimeter entfernt wären, würden sie selbst in Räumen ohne Widerstand nicht durch die Kraft ihrer gegenseitigen Anziehung in weniger als einem Monat zusammenkommen. und weniger Kugeln werden mit einer Geschwindigkeit zusammenkommen, die noch langsamer ist, nämlich im Verhältnis ihres Durchmessers.

Vielleicht ein Berg?

Nein, ganze Berge werden nicht ausreichen, um eine sinnvolle Wirkung zu erzielen. Ein Berg einer halbkugelförmigen Gestalt, drei Meilen hoch und sechs Meilen breit, wird durch seine Anziehungskraft das Pendel nicht zwei Minuten aus der wahren Senkrechten herausziehen: und nur in den großen Körpern der Planeten sollen diese Kräfte sein wahrgenommen, ...

Newtons Vorstellung von der Unpraktikabilität derart winziger Messungen würde sich als falsch herausstellen. Wenig wusste Newton, dass die wissenschaftliche Revolution, die er selbst vorantrieb, schnell so kleine Messungen ermöglichen würde.


Wiegen der Erde mit Bergen

Der erste Versuch, "die Erde zu wiegen", wurde während der französischen geodätischen Mission in Peru von Pierre Bouguer, Charles Marie de La Condamine und Louis Godin unternommen. Ihre Hauptaufgabe war es, die Form der Erde zu bestimmen. Hatte die Erde eine äquatoriale Ausbuchtung, wie von Newton vorhergesagt? (Die Franzosen hatten ein anderes Team nach Lappland geschickt, um das gleiche Ziel zu erreichen.) Bouguer nutzte die Reise als Gelegenheit, um Newtons Vorschlag zu testen, dass ein Berg ein Lot vom vermessenen Normal ablenken würde. Er wählte Chimborazo als Themenberg. Leider sind die Messungen völlig falsch ausgefallen. Das Lot wurde abgelenkt, aber in die falsche Richtung. Bouguer maß eine leichte Ablenkung vom Berg weg (Beeson, Webseite).

Der nächste Versuch war das Schiehallion-Experiment. Bei der Untersuchung der Mason-Dixon-Linie stellten Charles Mason und Jeremiah Dixon fest, dass ihre Kalibrierungen gelegentlich einfach nicht übereinstimmen konnten. Die Ursache war, dass ihre Lote gelegentlich vom normalen Normalwert abwichen. Diese Entdeckung führte zu dem von Nevil Maskelyne durchgeführten Schiehallion-Experiment. Im Gegensatz zu Bouguer erzielte Maskelyne ein positives Ergebnis, eine Ablenkung von 11,6 Bogensekunden und in die richtige Richtung. Die beobachteten Ablenkungen führten Maskelyne zu dem Schluss, dass die mittlere Dichte der Erde das 4,713-fache der Dichte von Wasser beträgt (von Zittel 1914).

Es stellt sich heraus, dass Newtons Idee, einen Berg zu benutzen, grundlegend fehlerhaft ist. Andere versuchten, diese Experimente mit anderen Bergen zu wiederholen. Viele haben eine negative Auslenkung gemessen, ebenso wie Bouguer. Dafür gibt es einen guten Grund. Aus dem gleichen Grund, dass wir nur einen kleinen Teil eines Eisbergs sehen (der größte Teil ist unter Wasser), sehen wir nur einen kleinen Teil eines Berges. Der größte Teil des Berges befindet sich in der Erde. Ein riesiger, isolierter Berg sollte dazu führen, dass ein Lot vom Berg abweicht.


Wiegen der Erde mit kleinen Massen

Wenn die Verwendung von Bergen zweifelhaft ist, was sagt das über die Zweifelhaftigkeit der Verwendung kleiner Massen aus, deren Annäherung Monate dauern würde, selbst wenn sie nur wenige Zentimeter voneinander entfernt sind?

Dies stellte sich als sehr zweckmäßig heraus gute Idee. Diese kleinen Massen sind steuerbar und ihre Massen können mit hoher Genauigkeit gemessen werden. Sie müssen nicht warten, bis sie kollidieren. Messen Sie einfach die Kraft, die sie aufeinander ausüben.

Diese Idee war die Grundlage für das Cavendish-Experiment (Cavendish 1798). Cavendish verwendete zwei kleine und zwei große Bleikugeln. Die beiden kleinen Kugeln wurden an gegenüberliegenden Enden eines horizontalen Holzarms aufgehängt. Der Holzarm wiederum war an einem Draht aufgehängt. Die beiden großen Kugeln waren auf einem separaten Gerät montiert, das er drehen konnte, um eine große Kugel einer kleinen Kugel sehr nahe zu bringen. Diese enge Trennung führte zu einer Gravitationskraft zwischen der kleinen und der großen Kugel, die wiederum dazu führte, dass sich der Draht, der den Holzarm hielt, verdrehte. Die Torsion im Draht wirkte, um diese Gravitationskraft auszugleichen. Schließlich stellte sich das System in einen Gleichgewichtszustand ein. Er maß die Torsion, indem er die Winkelabweichung des Arms von seinem ungedrehten Zustand beobachtete. Er kalibrierte diese Torsion durch eine andere Reihe von Messungen. Schließlich konnte Cavendish durch Abwiegen dieser Bleikugeln die mittlere Dichte der Erde berechnen.

Beachten Sie, dass Cavendish die universelle Gravitationskonstante G nicht gemessen hat. In Cavendishs Artikel wird keine Gravitationskonstante erwähnt. Die Vorstellung, dass Cavendish G gemessen hat, ist ein bisschen historischer Revisionismus. Die moderne Notation von Newtons Gesetz der universellen Gravitation, $ F = \ frac {GMm} {r ^ 2} $, existierte zu Cavendishs Zeiten einfach nicht. Erst 75 Jahre nach Cavendishs Experimenten wurde das Newtonsche Gesetz der universellen Gravitation in Bezug auf die Gravitationskonstante G umformuliert. Wissenschaftler der Zeit von Newton und Cavendish schrieben in Proportionalitäten, anstatt eine Proportionalitätskonstante zu verwenden.

Die Absicht von Cavendishs Experiment war es, die Erde zu "wiegen", und genau das tat er.


Moderne Techniken

Wenn die Erde kugelförmig war, wenn es keine anderen störenden Effekte wie die Gravitationsbeschleunigung in Richtung Mond und Sonne gab und wenn Newtons Gravitationstheorie korrekt war, ist die Periode eines kleinen Satelliten, der die Erde umkreist, durch Keplers drittes Gesetz gegeben: $ \ left (\ frac T {2 \ pi} \ right) ^ 2 = \ frac {a ^ 3} {GM_E} $. Hier ist $ T $ die Periode des Satelliten, $ a $ ist die Semi-Major-Achse (Orbitalradius) des Satelliten, $ G $ ist die universelle Gravitationskonstante und $ M_E $ ist die Masse der Erde.

Daraus lässt sich das Produkt $ G M_E $ leicht lösen, wenn die Periode $ T $ und der Umlaufradius $ a $ bekannt sind: $ G M_E = \ left (\ frac {2 \ pi} T \ right) ^ 2 a ^ 3 $. Um die Masse der Erde zu berechnen, muss man nur durch $ G $ dividieren. Es gibt jedoch einen Haken. Wenn das Produkt $ G ist, ist M_E $ mit einem hohen Grad an Genauigkeit bekannt (und das ist es auch), und das Teilen durch $ G $ verliert viel Genauigkeit, da die Gravitationskonstante $ G $ nur mit vier Dezimalstellen Genauigkeit bekannt ist. Dieser Mangel an Wissen über $ G $ plagt von Natur aus jede genaue Messung der Masse der Erde.

Ich habe diese Berechnung mit vielen Einschränkungen versehen:

  • Die Erde ist nicht nicht kugelförmig. Die Erde ist besser als abgeflachter Sphäroid modelliert. Diese äquatoriale Ausbuchtung stört die Umlaufbahnen von Satelliten (ebenso wie Abweichungen vom abgeflachten Sphäroidmodell).
  • Die Erde ist nicht allein im Universum. Die Gravitation von Mond und Sonne (und den anderen Planeten) stört die Umlaufbahnen von Satelliten. Dies gilt auch für die Strahlung von der Sonne und von der Erde.
  • Newtons Gravitationstheorie ist nur annähernd richtig. Einsteins allgemeine Relativitätstheorie liefert ein besseres Modell. Abweichungen zwischen Newtons und Einsteins Theorien werden bei präzisen Messungen über einen langen Zeitraum beobachtbar.

Diese Störungen müssen berücksichtigt werden, aber die Grundidee bleibt bestehen: Man kann die Erde "wiegen", indem man einen Satelliten über einen langen Zeitraum genau beobachtet. Was benötigt wird, ist ein Satellit, der speziell für diesen Zweck geeignet ist. Hier ist es:

!LAGEOS

Dies ist LAGEOS-1, das 1976 eingeführt wurde. Ein identischer Zwilling, LAGEOS-2, wurde 1992 eingesetzt. Diese sind extrem einfache Satelliten. Sie haben keine Sensoren, keine Effektoren, keine Kommunikationsausrüstung, keine Elektronik. Sie sind völlig passive Satelliten. Es sind nur massive Messingkugeln mit einem Durchmesser von 60 cm, die mit Retroreflektoren bedeckt sind.

Anstatt den Satelliten messen zu lassen, zielen Menschen am Boden mit Lasern auf die Satelliten. Da die Satelliten mit Retroreflektoren bedeckt sind, wird ein Teil des Laserlichts, das auf einen Satelliten trifft, zur Quelle zurückreflektiert. Das genaue Timing der Verzögerung zwischen der Emission und dem Empfang des reflektierten Lichts liefert ein genaues Maß für die Entfernung zum Satelliten. Die genaue Messung der Frequenzänderung zwischen dem übertragenen Signal und dem Rücksignal liefert ein genaues Maß für die Geschwindigkeit, mit der sich die Entfernung ändert.

Durch Akkumulieren dieser Messungen über die Zeit können Wissenschaftler diese Satellitenbahnen sehr genau bestimmen. und daraus können sie "die Erde wiegen". Die aktuelle Schätzung des Produkts $ G M_E $ ist $ G M_E = 398600.4418 \ pm 0,0009 \ \ text {km} ^ 3 / \ text {s} ^ 2 $. (NIMA 2000). Dieser winzige Fehler bedeutet, dass dies auf 8,6 Dezimalstellen genau ist. Fast der gesamte Fehler in der Masse der Erde wird von der Unsicherheit in $ G $ herrühren.

Referenzen

M. Beeson, "Bouguer kann die Erde nicht wiegen" (Webseite)

H. Cavendish, "Experimente zur Bestimmung der Dichte der Erde", Phil. Trans. R. Soc. London, 88 (1798) 469-526

I. Newton (übersetzt von A. Motte), Principia, Das System der Welt (1846)

NIMA Technical Report TR8350.2, "Geodätisches System des Verteidigungsministeriums der Welt 1984, seine Definition und Beziehungen zu lokalen geodätischen Systemen", dritte Ausgabe, Januar 2000

K. von Zittel (übersetzt von M. Ogilvie-Gordon), "Geschichte der Geologie und Paläontologie bis zum Ende des 19. Jahrhunderts", (1914)

Gute Antwort. Ich wusste, dass die moderne Methode Satelliten verwenden würde, kannte aber die Details nicht.
#3
+15
hugovdberg
2014-04-16 10:35:36 UTC
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Die Masse der Erde kann durch das sogenannte Cavendish-Experiment bestimmt werden. Henry Cavendish verwendete eine Apparatur, um die Gravitationskonstante G zu bestimmen, die in der vollständigen Gleichung für die Gravitationskraft erscheint:

$$ F = {Gm_1m_2 \ über R ^ 2} $$

Dabei sind $ m_1 $ und $ m_2 $ die Massen zweier Objekte, $ R $ der Abstand zwischen den Schwerpunkten der Objekte und $ G $ die Gravitationskonstante (ungefähr $ 6.674 \ times 10 ^ {- 11} \ mathrm {N. ~ m ^ 2 ~ kg ^ {- 2}} $).

Da der Durchmesser der Erde sowie die Gravitationskonstante bekannt sind, ergibt die Bestimmung der Gravitationskraft auf ein Objekt mit bekannter Masse die Masse des Objekts, das diese Kraft ausübt (also die Erde).

#4
+12
winwaed
2014-04-16 19:55:08 UTC
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Cavendish hat vielleicht einen direkteren Ansatz gewählt, aber Neville Maskelyn hat dies früher im Schiehallion Experiment getan - Veröffentlichung im Jahr 1778. Sehr viel eine Aufklärungsgeschichte mit Geld, das von Cooks Expedition zur Beobachtung des Transits übrig geblieben ist der Venus; Mason & Dixon; und sogar Benjamin Franklin war an der frühen Planung beteiligt.

Schiehallion ist ein symmetrischer und relativ isolierter Berg in Schottland. Durch Messen der Form (und Erfinden von Konturlinien im Prozess!) Ist es möglich, das Volumen zu berechnen. Aus der Gesteinsprobe können Sie dann die Masse des Berges berechnen. Mit Blick auf die Pendelauslenkung können Sie das Verhältnis der Masse der Erde zur Masse von Schiehallion berechnen.

Mit einem modernen digitalen Geländemodell und geologischen Modellen ergeben Maskelyns Pendelmessungen ein Ergebnis, das mit dem Strom übereinstimmt akzeptierter Wert von G (oder M - sie sind zwei Seiten derselben Medaille).

Abgesehen davon bin ich vor ungefähr 18 Monaten den Berg hinauf gewandert. Wenn das Wetter klar ist, erhalten Sie einige herrliche Aussichten, da sich keine Berge in der Nähe befinden (was auch die Messungen beeinträchtigen würde).

#5
+10
Neo
2014-04-16 10:37:39 UTC
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Der einfachste Weg ist, ein Gravimeter von einem Satelliten aus zu verwenden und die berühmte Gleichung des inversen Quadratgesetzes zu lösen, die Newton vor Jahrhunderten entwickelt hat.

Ein anderer Weg, der eine lohnende Übung sein könnte (ich hatte Um dies in einer Festkörper-Geophysik-Klasse zu tun, muss eine vierschichtige Erde (Kruste, Mantel, äußerer Kern, innerer Kern) angenommen werden. Verwenden Sie seismische Daten, um nicht nur die Tiefen jeder Schicht (durch S / P-Reflexionen) zu ermitteln, sondern auch die Dichten jeder Schicht durch seismische Geschwindigkeiten. Sie können für jede "Schale" homogene Dichten annehmen und die Masse anhand des Erdumfangs (und damit des Durchmessers) ermitteln.

Sie können es auch mithilfe der Kepler / Newton-Gesetze der Planetenbewegung lösen, wenn Sie den Abstand zwischen zwei Körpern (Erde und Mond / Erde und Sonne) kennen.

IE gibt es In vielerlei Hinsicht gibt uns das Newtonsche Gravitationsgesetz eine sehr gute Annäherung an die Erdmasse.

* Der einfachste Weg ist die Verwendung eines Gravimeters von einem Satelliten *. Sie haben eine ungewöhnliche Vorstellung vom Wort „einfach“.
Ich denke, es ist sehr schwierig, diesen Satelliten in die Umlaufbahn zu bringen und sogar das Gravimeter zu bauen, aber die Verwendung dieses Gravimeters (bereits gesammelte Daten) ist eine URL entfernt. http://topex.ucsd.edu/WWW_html/bkgrd.html
Das wird überhaupt nicht funktionieren! Gravimeter messen nicht die Schwerkraft. Sie messen die vom Boden ausgeübte Normalkraft nach oben, die verhindert, dass das Gravimeter in die Erde sinkt. Da das Gravimeter stationär ist, dient diese Messung der Aufwärtskraft als Ersatz für die Gravitation. Ein Satellit befindet sich im freien Fall. Ein Gravimeter auf einem Satelliten misst * Null * (oder nahe Null, wenn es sich in einer niedrigen Erdumlaufbahn befindet). Ein Paar Gravimeter auf einem Satelliten kann den Schwerkraftgradienten messen. Das ist die Basis für den GOCE-Satelliten (er hatte drei solcher Paare). Dafür ist jedoch ein Basismodell für die Erdgravitation erforderlich.


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