Frage:
Warum ist die Erde keine Kugel?
WAF
2014-04-16 12:35:27 UTC
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Wir haben alle in der Schule gelernt, dass die Erde eine Kugel ist. Tatsächlich handelt es sich eher um eine leicht abgeflachte Kugel - ein abgeflachtes Rotationsellipsoid, auch abgeflachtes Sphäroid genannt. Dies ist eine Ellipse, die um ihre kürzere Achse gedreht wird. Was sind die physikalischen Gründe für dieses Phänomen?

Ich habe gerade auf Ihre Frage in [Ist die „Birnenform“ der Erde hauptsächlich J₃?] Verlinkt (https://space.stackexchange.com/q/45348/12102)
@Uhoh: Um eine detailliertere Ansicht der Erdform zu erhalten, sollten Sie den Einfluss der Konvektion, Anzahl und Stärke der Konvektionsströme und -schichten im Mantel usw. nicht verpassen. Ich habe kürzlich über einen erheblichen Einfluss gelesen, zumindest über die geologische Zeitskala. Ich erinnere mich nicht, wo, tho, ...
Drei antworten:
#1
+22
Kenshin
2014-04-16 13:01:26 UTC
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Normalerweise besteht die natürliche Schwerkraft in Abwesenheit einer Rotation darin, die Erde in Form einer Kugel zusammenzuziehen.

Die Erde wölbt sich jedoch tatsächlich am Äquator und der Durchmesser über die Die Äquatorialebene ist 42,72 km größer als der Durchmesser von Pol zu Pol.

Dies ist auf die Rotation der Erde zurückzuführen.

enter image description here

Wie wir im obigen Bild sehen können, scheint sich die sich drehende Scheibe an den Punkten auf der Scheibe zu wölben, die am weitesten von der Rotationsachse entfernt sind.

Damit die Partikel der Scheibe in der Umlaufbahn bleiben, muss eine nach innen gerichtete Kraft vorhanden sein, die als Zentripetalkraft bezeichnet wird und gegeben ist durch:

$$ F = \ frac {mv ^ 2} {r}, $$

wobei $ F $ die Kraft ist, $ m $ die Masse des rotierenden Körpers ist, $ v $ die Geschwindigkeit ist und $ r $ die ist Teilchenradius von der Rotationsachse.

Wenn sich die Scheibe mit einer bestimmten Winkelgeschwindigkeit dreht, beispielsweise $ \ omega $, dann ist die Tangentialgeschwindigkeit $ v $ durch $ v = \ omega r gegeben $.

Daher ist

$$ F = m \ omega ^ 2r $$

Je größer der Radius des Partikels ist, desto mehr Kraft ist erforderlich

Daher werden Partikel auf der Erde in der Nähe des Äquators, die am weitesten von der Rotationsachse entfernt sind, nach außen prallen, da sie eine größere Kraft nach innen benötigen, um ihre Umlaufbahn aufrechtzuerhalten.


Zusätzliche Details für mehr mathematische Kenntnisse, nachdem mathjax aktiviert ist:

Die Nettokraft auf ein Objekt, das sich um den Äquator mit einem Radius $ r $ um einen Planeten mit dreht Eine Gravitationskraft von $ \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} $ ist die Zentripetalkraft, die gegeben ist durch

$$ F_ {net} = \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} - N = m \ omega ^ 2r, $$ wobei $ N $ die Normalkraft ist.

Das Neuanordnen der obigen Gleichung ergibt:

$$ N = \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} - m \ omega ^ 2r $$

Die Normalkraft ist hier die wahrgenommene Abwärtskraft, die ein rotierender Körper beobachtet. Die Gleichung zeigt, dass die wahrgenommene Abwärtskraft aufgrund der Zentripetalbewegung verringert wird. Das typische Beispiel, um dies zu veranschaulichen, ist das Auftreten der Schwerkraft 0 in einem Satelliten, der die Erde umkreist, da in dieser Situation die Zentripetalkraft genau durch die Gravitationskraft ausgeglichen wird. Auf der Erde ist die Zentripetalkraft jedoch viel geringer als die Gravitationskraft, sodass wir fast den gesamten Beitrag von $ mg $ wahrnehmen.

Nun werden wir untersuchen, wie sich die wahrgenommene Gravitationskraft in verschiedenen Breitengraden unterscheidet. $ \ Theta $ sei der Breitengradwinkel. Sei $ F_G $ die Schwerkraft.

In der Vektornotation nehmen wir die $ j $ -Richtung parallel zur Rotationsachse und die $ i $ -Richtung senkrecht zur Achse

In Abwesenheit der Erdrotation ist

$$ F_G = N = (- \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} \ cos \ theta) \ tilde {i} + (- \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} \ sin \ theta) \ tilde {j} $$

Es ist leicht zu erkennen, dass die obige Gleichung die wahrgenommene Schwerkraft in darstellt das Fehlen von Rotation. Jetzt wirkt die Zentripetalkraft nur in i-Richtung, da sie senkrecht zur Rotationsachse wirkt.

Wenn $ R_ {rot} $ der Rotationsradius ist, ist die Zentripetalkraft $ m_1 \ omega ^ 2R_ {rot} $, was für einen Breitengrad von $ \ theta $ $ m_1 \ omega ^ 2r \ cos {\ theta} $

$$ N = (- \ entspricht frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} + m_1 \ omega ^ 2r) \ cos {\ theta} \ tilde {i} + (- \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2}) \ sin {\ theta} \ tilde { j} $$

Durch Vergleichen dieser Gleichung mit dem zuvor gezeigten Fall ohne Rotation wird deutlich, dass mit zunehmendem $ \ theta $ (Breitengradwinkel) der Effekt der Rotation auf die wahrgenommene Schwerkraft vernachlässigbar wird, da der einzige Unterschied liegt in der $ x $ -Komponente nähert sich $ \ cos \ theta $ 0, während sich $ \ theta $ dem 90-Grad-Breitengrad nähert. Es ist jedoch auch zu sehen, dass bei Annäherung von Theta an 0 in der Nähe des Äquators die $ x $ -Komponente der Schwerkraft infolge der Erdrotation verringert wird. Daher können wir sehen, dass die Größe von $ N $ am Äquator etwas geringer ist als an den Polen. Die verringerte scheinbare Anziehungskraft hier führt zu einer leichten Ausbeulung der Erde am Äquator , da die Erde ursprünglich nicht so starr war wie heute (siehe andere Antwort).

Angenommen, die Schwerkraft ist auf der Erdoberfläche ungefähr gleich, oder?
@naught101 rechts - und die Schwerkraft ist über die Oberfläche in einer ausreichenden Annäherung gleich, um die Form des Planeten als abgeflachtes Ellipsoid anzunähern. Ich denke, dass die Variation darüber hinaus eine hervorragende Antwort für sich wäre :-)
@SimonW: Die Wikipedia-Seite der [Schwerkraft der Erde] (https://en.wikipedia.org/wiki/Gravity_on_Earth#Variation_in_gravity_and_apparent_gravity) beantwortet wahrscheinlich die meisten dieser offenen Fragen - sie scheint ziemlich umfassend zu sein.
@naught101 wirkt auch an den Polen die Schwerkraft senkrecht zur Zentripetalkraft, da die Gravitationskraft auf den Schwerpunkt gerichtet ist, während die Zentripetalkraft auf die Rotationsachse gerichtet ist.
@hugovdberg, das stimmt. Die größere Zentripetalkraft in der gleichen Richtung wie die Schwerkraft entlang des Äquators bewirkt eine relative Abnahme von g aus der Sicht eines rotierenden Beobachters am Äquator im Vergleich zu einem Beobachter an den Polen. Dies ist es, was die Ausbuchtung hervorruft. Ich werde eine mathematische Beschreibung geben, wenn mathjax hinzugefügt wird.
Gewalt ist nicht der beste Weg, dies zu betrachten. Energie liefert ein viel besseres Bild. Die Erdoberfläche befindet sich sehr nahe an einer Oberfläche mit konstanter Gravitations- und Zentrifugalpotentialenergie. Die Figur der Erde veranschaulicht das Prinzip der geringsten Wirkung.
@DavidHammen, Ich verstehe, dass die meisten Menschen Energieargumente verwenden, aber ich persönlich glaube, dass das Kraftargument für diejenigen ohne physikalischen Hintergrund intuitiver ist.
Ich stimme zu, dass Energieargumente selten viel Einsicht bieten, um eine physikalische Frage zu verstehen (zumindest für mich!), Da sie häufig Fragen als Ganzes behandeln, ohne sich mit physikalischen Ursachen zu befassen: Die einzige Ursache ist „Energie muss minimiert werden!“. @Geodude Wie auch immer, die Art und Weise, wie Sie die Abflachung der Erde mit Kräften erklären, ist meiner Meinung nach bei weitem nicht vollständig (siehe meine Antwort und die folgenden Kommentare). Außerdem bin ich in Ihrer mathematischen Behandlung verloren, Sie haben Skalare und Vektoren verwechselt und ist $ F_ {net} $ wirklich gleich $ m \ omega ^ 2r $?
@Gaialogist, Ich glaube nicht, dass ich Skalare und Vektoren gemischt habe - können Sie darauf hinweisen (Gmm / r ^ 2 ist eine Kraft und mw ^ 2r ist eine Kraft, beide sind Vektorgrößen)? Ja, die Nettokraft für ein Objekt auf der Erde ist die Zentripetalkraft. Wenn die Nettokraft größer als das Zentripetal wäre, würde das Objekt in die Erde sinken. Wenn die Nettokraft geringer als das Zentripetal wäre, würde sich das Objekt von der Erde entfernen - entweder kurzzeitige Oszillationssprünge oder vollständige Flucht aus der Umlaufbahn. Die Schwerkraft ist größer als das Zentripetal, aber dieser Überschuss wird durch die der Schwerkraft entgegengesetzte Normalkraft ausgeglichen.
Für einen Physiker liefert Energie viel bessere Einsichten als Kraft. Energie, nicht Kraft, ist die Grundlage der Lagrange- und Hamilton-Mechanik. Energie, nicht Kraft, ist das Herzstück der Quantenmechanik und der allgemeinen Relativitätstheorie.
@DavidHammen, Ein guter Physiker hat kein Problem damit, Probleme mit Energieargumenten oder Kraftargumenten zu lösen. Ein Physiker kann erkennen, wenn ein Ansatz intuitiver ist als ein anderer. Meiner Meinung nach sind Newtons Gesetze für die klassische Physik weitaus intuitiver als die Hamilton-Mechanik, aber natürlich sind Lagrange-Gesetze in der Quantenphysik intuitiver zu verwenden. Das heißt, es ist einfacher, dieses spezielle Problem mit Energieargumenten zu lösen, aber trotzdem stehe ich gewaltsam da, um für dieses Problem intuitiver zu sein, weshalb ich diesen Ansatz verwendet habe.
Wie erklärt Gewalt hier ** irgendetwas **? Die Gravitationskraft ist nicht gleichmäßig. Mit Energie und Thermodynamik ist es einfach. Die potentielle Energie der Gravitation ist überall auf der Oberfläche der nahezu konstant, und der Grund ist der zweite Hauptsatz der Thermodynamik.
@DavidHammen, Wenn Sie meine Antwort durchsehen, werden Sie sehen, wie Kraft die Ausbuchtung erklärt. Die scheinbare Gravitationskraft ist am Äquator geringer als an den Polen, weshalb sich die Erde während der Bildung hier zusammenzieht. Vielleicht könnten Sie Ihren Kommentar zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik näher erläutern? http://chat.stackexchange.com/rooms/13909/earth-science
Diese Kraft am Äquator ist geringer, ist eine Wirkung, keine Ursache. Die Ursache ist Energie und der zweite Hauptsatz der Thermodynamik. (Erstes Gesetz: Sie können nicht gewinnen. Zweites Gesetz: Sie können auch nicht binden. Drittes Gesetz: So viel verlieren Sie mindestens.) Das zweite Gesetz besagt, dass es einen Weg zum Minimum eines Systems gibt Energiekonfiguration findet das System diesen Pfad.
@DavidHammen, Ich denke, Sie haben meine Gleichungen falsch interpretiert. Die verringerte Schwerkraft am Äquator ist eine Ursache und keine Auswirkung, obwohl die Ausbeulung letztendlich zu einem vergrößerten Radius und damit zu einer verringerten Schwerkraft führen kann, was nicht mein Argument war.
@DavidHammen, Das 2. Gesetz der Thermodynamik ist das Gesetz, dass die Entropie zunimmt. Http://en.wikipedia.org/wiki/Second_law_of_thermodynamics. Ich bin mir nicht sicher, wie das auf diese Situation zutrifft.
Eine andere Art, es auszudrücken: Systeme neigen dazu, ihre Entropie zu maximieren. Beginnen Sie mit einem isolierten System. Wenn sich das System in Richtung eines niedrigeren potentiellen Energiezustands bewegen kann, wird dies aufgrund des 2. Gesetzes geschehen. Diese Abnahme der potentiellen Energie bedeutet eine Temperaturerhöhung aufgrund der Energieeinsparung. Die Entropie nimmt zu, bis das System seine minimale potentielle Energie erreicht hat. An diesem Punkt wird die Entropie maximiert. Ein nicht isoliertes System bewegt sich in ähnlicher Weise in Richtung seines potentiellen Energieminimums, aber jetzt strahlt es diese Wärme in den Weltraum ab. Die Entropie des Universums nimmt zu.
#2
+15
Gaialogist
2014-04-23 14:33:48 UTC
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Eigentlich gibt es zwei Gründe, warum die Erde keine Kugel ist:

  1. die Erde dreht sich und dreht sich schon lange
  2. die Erde nicht Perfekt starr, kann es sogar als viskose Flüssigkeit auf langen Zeitskalen betrachtet werden.
  3. ol>

    Wenn sich die Erde nicht drehen würde, wäre es eine Kugel. Wenn die Erde erst vor kurzem angefangen hätte, sich zu drehen, wäre es wäre nicht im Gleichgewicht, also wahrscheinlich nicht das Ellipsoid der Revolution, mit dem wir vertraut sind. Last but not least, wenn die Erde vollkommen starr wäre, würde sie durch keinen Prozess, einschließlich Rotation, deformiert werden und somit immer noch ihre ursprüngliche Form haben

    Wir können davon ausgehen, dass die Erde an jedem Punkt eine Flüssigkeit im hydrostatischen Gleichgewicht ist (dh eine Flüssigkeit in Ruhe), wobei sowohl die Wirkung der Schwerkraft als auch die Zentrifugalkraft (Pseudo) aufgrund der Rotation berücksichtigt werden. Wenn wir dann unter dieser Bedingung nach der Form der Erdoberfläche suchen, ist die Lösung ein Rotationsellipsoid. Es ist sehr nahe an der tatsächlichen Erdoberfläche, was ein guter Beweis dafür ist, dass unsere anfängliche Annahme - rotierende Flüssigkeit im hydrostatischen Gleichgewicht - für eine lange Zeitspanne vernünftig ist.

    Die Untersuchung dieser Frage bezieht sich auf die berühmte Clairauts Gleichung aus dem Namen des berühmten französischen Wissenschaftlers, der Ende des 18. Jahrhunderts die Abhandlung Théorie de la figure de la terre veröffentlichte.

    NB: Wenn wir nur das erklären Die Ausbuchtung am Äquator bezieht sich auf die Wirkung der zentrifugalen Pseudokraft und ignoriert das Problem des hydrostatischen Gleichgewichts. Wir sollten daraus schließen, dass der polare Radius mit oder ohne Drehung der gleiche ist. Es ist jedoch kleiner: ungefähr 6357 km gegenüber 6371 km für eine kugelförmige Erde mit gleichem Volumen.

Woher wissen wir, dass der polare Radius ohne Drehung 6371 km betragen wird? 6371 km ist der durchschnittliche Radius der Erde und größer als der polare Radius, da die äquatoriale Ausbuchtung meiner Meinung nach den Radius verzerrt hat.
Wir wissen einfach, dass die Erde das gleiche Volumen haben würde (Inkompressibilität wird angenommen) und eine Kugel wäre, wenn sie sich nicht drehen würde, also einen polaren Radius von 6371 km. 6371 km sind nicht der [mittlere Radius der Erde] (http://www.wolframalpha.com/input/?i=earth+mean+radius), sondern der Radius einer „kugelförmigen Erde mit [gleichem Volumen“ ] (http://www.wolframalpha.com/input/?i=earth+volume) ”.
Besser spät als nie: mein Fehler bezüglich der Diskussion über Erdradien. In sehr guter Näherung sind aufgrund des geringen Wertes der Erdabflachung 6371 km [gleichzeitig] (https://en.wikipedia.org/wiki/Earth_radius#Global_average_radii) (1) der arithmetische mittlere Radius (2) ) der authalische oder _gleiche Flächenradius_ und (3) der volumetrische oder _gleiche Volumenradius_. Der erste Teil meines vorherigen Kommentars ändert sich jedoch nicht: Der Erdpolarradius * wird auch durch die Drehung * geändert, was in der Antwort mit der höchsten Bewertung / Akzeptanz nicht erläutert wird.
#3
+7
David Hammen
2014-04-28 18:07:33 UTC
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Dass die Erde ungefähr ein abgeflachter Sphäroid ist, lässt sich am besten durch Energie erklären.

Legen Sie einen Marmor in eine Schüssel. Egal wo Sie es platzieren, es wird irgendwann am Boden der Schüssel zur Ruhe kommen. Dies ist die Position, die die Gesamtenergie des Marmors unter der Bedingung minimiert, dass er sich in der Schüssel befindet. Hängen Sie eine Kette zwischen zwei Pfosten auf. Wenn die Kette zur Ruhe kommt, nimmt sie eine bekannte Form an, die einer Oberleitungskurve. Dies ist die Form, die die Energie der Kette minimiert, unter der Bedingung, dass sie zwischen den beiden Pfosten aufgehängt wird.

Wenn Sie den Marmor vom Boden weg platzieren, rollt er eine Weile herum, bevor er zu kommt sich ausruhen. Wenn Sie die Kette von ihrer Oberleitungsform wegziehen, schwingt sie eine Weile hin und her, bevor sie in dieser stabilen Form zur Ruhe kommt. Der außermittige Marmor und die Kette außerhalb der Ebene haben größere potentielle Energien als in ihrer stabilen Konfiguration. Wenn möglich, wird die Natur versuchen, die gesamte potentielle Energie zu minimieren. Dies ist eine Folge des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik.

Im Fall der Erde ist diese minimale Energiekonfiguration eine Oberfläche, über die die Summe der potentiellen Gravitations- und Zentrifugalenergien konstant ist. Etwas, das die Erde von dieser Äquipotentialoberfläche abweichen lässt, führt zu einer Erhöhung dieser potentiellen Energie. Die Erde wird sich schließlich wieder auf diese minimale Energiekonfiguration einstellen. Diese Äquipotentialfläche wäre ein abgeflachter Sphäroid, wenn es keine Dichteschwankungen wie dicke und leichte kontinentale Kruste an einer Stelle, dünne und dichte ozeanische Kruste an einer anderen Stelle gäbe

In Bezug auf die Kraft ist die Größe, die wir g i> nennen, der Gradient der potentiellen Gravitations- und Zentrifugalenergien (insbesondere $ \ vec g = - \ nabla \ Phi $). Da die Erdoberfläche sehr nahe an einer Äquipotentialfläche liegt und diese Oberfläche wiederum sehr nahe an einem abgeflachten Sphäroid liegt, ist die Gravitation an den Polen notwendigerweise etwas höher als am Äquator.

Dies Die Gravitationskraft ist an Stellen, an denen die Oberfläche von der Äquipotentialfläche abweicht, nicht normal zur Oberfläche. Die tangentiale Komponente der Gravitationskraft führt zu Stellen, an denen Wasser bergab fließt, und zu Spannungen und Dehnungen auf der Erdoberfläche. Die möglichen Reaktionen auf diese Tangentialkräfte sind Erosion, Überschwemmungen und manchmal sogar Erdbeben, die die Erde schließlich wieder in ihre Gleichgewichtsform bringen.


Update: Warum ist dies das richtige Bild?

Aufgrund anderer Kommentare verstehen einige Leute nicht, warum Energie statt Kraft der richtige Weg ist, um dieses Problem zu betrachten, oder wie der zweite Hauptsatz der Thermodynamik ins Spiel kommt.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik anzugeben. Zum einen tendiert ein System zu einem Zustand, der seine Entropie maximiert. Setzen Sie beispielsweise zwei Blöcke mit zwei unterschiedlichen Temperaturen in Kontakt miteinander. Der kühlere Block wird wärmer und der wärmere Block wird kühler, bis beide Blöcke dank des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik die gleiche Temperatur haben. Diese gleichmäßige Temperatur ist der Zustand, der die Entropie dieses Zwei-Block-Systems maximiert.

Diese beiden Blöcke haben nur Wärmeenergie. Was ist mit einem System mit mechanischer Energie ungleich Null? Reibung wird fast zwangsläufig kinetische Energie aus dem System verbrauchen. Diese Reibung bedeutet, dass die mechanische Energie des Systems abnimmt, bis sie ein globales Minimum erreicht, falls vorhanden. Für einen rotierenden, dissipativen, selbstgravitierenden Körper existiert dieses globale Minimum und es ist eine (mehr oder weniger) abgeflachte Sphäroidform.

Haben Sie Beispiele für Erdbeben aufgrund der Abweichung der Kruste von der Äquipotentialoberfläche und nicht aufgrund tektonischer Beanspruchung? Dieses Beispiel klingt für mich seltsam ... Etwas anderes: Die Gravitationskraft kann normal zur Oberfläche sein, selbst wenn sie vom Geoid abweicht (und nicht normal, selbst wenn sie nicht abweicht).
@Gaialogist - In Bezug auf Ihre zweite Frage ist das Geoid die Äquipotentialfläche, die dem mittleren Meeresspiegel am nächsten liegt. Da die Gravitationsbeschleunigung der Gradient des Gravitationspotentials ist, ist der Gravitationsbeschleunigungsvektor notwendigerweise normal zum Geoid. Es ist in der Mathematik. Hier ist eine relevante Antwort unter math.stackexchange.com: http://math.stackexchange.com/questions/122222/proving-gradient-of-a-scalar-field-is-perpendicular-to-equipotential-surface.
Was Ihre erste Frage betrifft, so sind viele dieser tektonischen Spannungen eine direkte Folge davon, dass die Erde nicht im hydrostatischen Gleichgewicht oder in einer Gleichgewichtsform ist. Zum Beispiel Ridge Push und Slab Pull.
Es ist in Ordnung, dass die Schwerkraft normal zum Geoid ist, aber die Oberfläche muss nicht mit dem Geoid übereinstimmen, um die Schwerkraft normal oder wechselseitig zu haben. Stellen Sie sich eine Oberfläche nahe und parallel zum Geoid vor, die jedoch nicht überlagert ist: Sie kann eine normale Schwerkraft haben. Stellen Sie sich eine Oberfläche vor, die das Geoid kreuzt: Auf der Kreuzungslinie stimmen die beiden Oberflächen überein, aber die Schwerkraft ist nicht normal zur Erdoberfläche.
Bei meiner ersten Frage stimme ich dem Gleichgewichtsargument zu, jede Bewegung auf (oder auf) der Erde zu erklären. Ich denke nur, dass es gewagt ist, die Verbindung zwischen tangentialen Komponenten des Schwerkraftvektors und Erdbeben herzustellen. Vielleicht könnte dieser Standpunkt sogar fälschlicherweise Ursachen und Folgen umkehren (der Einfluss tektonischer Strukturen auf Schwerkraftanomalien, nicht das Gegenteil) ...


Diese Fragen und Antworten wurden automatisch aus der englischen Sprache übersetzt.Der ursprüngliche Inhalt ist auf stackexchange verfügbar. Wir danken ihm für die cc by-sa 3.0-Lizenz, unter der er vertrieben wird.
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